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背包问题是系统学习动态规划的重要研究课题,其核心在于如何高效地解决位于有限容量中的最大价值选择问题。以下将从01背包延伸至多种背包模型,并介绍相应的优化方法和解决方案。
f[i][j]
表示前 i
个物品,总体积不超过 j
时的最大价值。i
个物品:f[i][j] = f[i-1][j]
i
个物品:f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i])
j
时只需保存当前层数据。f[i][j]
表示前 i
个物品,总体积不超过 j
时的最大价值。f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]] + w[i])
f[j]
。f[i][j]
。f[i][j] = max(k=1 到 s[i], f[i][j-k*v[i]] + k*w[i])
。f[i][j]
表示前 i
组物品,总体积不超过 j
时的最大价值。通过以上方法,可以实现多种背包问题验证,并对结果进行分析。各优化方法的实现代码通常采用逆序枚举体积和空间优化技巧,能显著提升效率。
各类背包问题的解决方案代码如下:
#include#include using namespace std;const int N = 1005;int v[N], w[N];int f[N][N];int main() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 0; j <= m; ++j) { f[i][j] = f[i-1][j]; if (j >= v[i]) { f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j - v[i]] + w[i]); } } } cout << f[n][m] << endl; return 0;}
#include#include using namespace std;const int N = 1005;int n, m;int v[N], w[N];int f[N];int main() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i]; for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = v[i]; j <= m; ++j) { if (f[j] < f[j - v[i]] + w[i]) f[j] = f[j - v[i]] + w[i]; } } cout << f[m] << endl; return 0;}
#include#include using namespace std;const int N = 205;int n, m;int v[N], w[N], s[N];int f[N];int main() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i]; for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 0; j <= m; ++j) { for (int k = 0; k * v[i] <= j; ++k) { if (k > s[i]) break; if (f[j] < f[j - k*v[i]] + k*w[i]) f[j] = f[j - k*v[i]] + k*w[i]; } } } cout << f[m] << endl; return 0;}
多种背包问题的解决方案均可通过优化策略对空间和时间复杂度进行控制,达到高效解决问题的目的。
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